Archive for July, 2009

Posted by Carlos Guerrero on July 29, 2009

Mathematical symbols and Latex

From:http://en.wikipedia.org/wiki/Table_of_logic_symbols

Table of logic symbols

From Wikipedia, the free encyclopedia

Jump to: navigation, search

Logic portal

[edit] Basic logic symbols

Symbol	Name	Explanation	Examples	Unicode Value	HTML Entity	LaTeX symbol
	Should be read as
	Category
⇒ → ⊃	material implication	A ⇒ B means if A is true then B is also true; if A is false then nothing is said about B. → may mean the same as ⇒ (the symbol may also indicate the domain and codomain of a function; see table of mathematical symbols). ⊃ may mean the same as ⇒ (the symbol may also mean superset).	x = 2 ⇒ x² = 4 is true, but x² = 4 ⇒ x = 2 is in general false (since x could be −2).	8658 8594 8835	⇒ → ⊃	$\Rightarrow$ \Rightarrow $\to$ \to $\supset$ \supset
	implies; if .. then
	propositional logic, Heyting algebra
⇔ ≡ ↔	material equivalence	A ⇔ B means A is true if B is true and A is false if B is false.	x + 5 = y +2 ⇔ x + 3 = y	8660 8801 8596	⇔ &equiv; ↔	$\Leftrightarrow$ \Leftrightarrow $\equiv$ \equiv $\leftrightarrow$ \leftrightarrow
	if and only if; iff
	propositional logic
¬ ˜ !	logical negation	The statement ¬A is true if and only if A is false. A slash placed through another operator is the same as “¬” placed in front.	¬(¬A) ⇔ A x ≠ y ⇔ ¬(x = y)	172 732	¬ &tilde; ~	$\lnot$ \lnot $\tilde{}$ \tilde{}
	not
	propositional logic
∧ • &	logical conjunction	The statement A ∧ B is true if A and B are both true; else it is false.	n < 4 ∧ n >2 ⇔ n = 3 when n is a natural number.	8743 38	&and; &	$\land$ \land \&^[1]
	and
	propositional logic
∨ +	logical disjunction	The statement A ∨ B is true if A or B (or both) are true; if both are false, the statement is false.	n ≥ 4 ∨ n ≤ 2 ⇔ n ≠ 3 when n is a natural number.	8744	&or;	$\lor$ \lor
	or
	propositional logic
⊕ ⊻	exclusive disjunction	The statement A ⊕ B is true when either A or B, but not both, are true. A ⊻ B means the same.	(¬A) ⊕ A is always true, A ⊕ A is always false.	8853 8891	&oplus;	$\oplus$ \oplus
	xor
	propositional logic, Boolean algebra
⊤ T 1	Tautology	The statement ⊤ is unconditionally true.	A ⇒ ⊤ is always true.	8868	T	$\top$ \top
	top
	propositional logic, Boolean algebra
⊥ F 0	Contradiction	The statement ⊥ is unconditionally false.	⊥ ⇒ A is always true.	8869	&perp; F	$\bot$ \bot
	bottom
	propositional logic, Boolean algebra
∀	universal quantification	∀ x: P(x) means P(x) is true for all x.	∀ n ∈ N: n² ≥ n.	8704	∀	$\forall$ \forall
	for all; for any; for each
	predicate logic
∃	existential quantification	∃ x: P(x) means there is at least one x such that P(x) is true.	∃ n ∈ N: n is even.	8707	∃	$\exists$ \exists
	there exists
	first-order logic
∃!	uniqueness quantification	∃! x: P(x) means there is exactly one x such that P(x) is true.	∃! n ∈ N: n + 5 = 2n.	8707 33	∃ !	$\exists !$ \exists !
	there exists exactly one
	first-order logic
:= ≡ :⇔	definition	x := y or x ≡ y means x is defined to be another name for y (but note that ≡ can also mean other things, such as congruence). P :⇔ Q means P is defined to be logically equivalent to Q.	cosh x := (1/2)(exp x + exp (−x)) A XOR B :⇔ (A ∨ B) ∧ ¬(A ∧ B)	58 61 8801 58 8660	:= : &equiv; ⇔	$: =$ := $\equiv$ \equiv $\Leftrightarrow$ \Leftrightarrow
	is defined as
	everywhere
( )	precedence grouping	Perform the operations inside the parentheses first.	(8/4)/2 = 2/2 = 1, but 8/(4/2) = 8/2 = 4.	40 41	( )	$(~)$ ( )

	everywhere
⊢	inference	x ⊢ y means y is derived from x.	A → B ⊢ ¬B → ¬A	8866		$\vdash$ \vdash
	infers or is derived from
	propositional logic, first-order logic

[edit] Advanced and Rarely Used Logical symbols

These symbols are sorted by their Unicode value:

x00b7 ·: Center dot, an outdated way for denoting AND, still in use in electronics; for example “A·B” is the same as “A&B”
·: Center dot with a line above it (using HTML style). Outdated way for denoting NAND, for example “A·B” is the same as “A NAND B” or “A|B” or “¬(A & B)” See also Unicode “Dot operator” x22c5

x0305 ̅ : overline, used as abbreviation for standard numerals. for example, using HTML style “4” is a shorthand for the standard numeral “SSSS0″
̅ : overline, an outdated way for denoting negation, still in use in electronics; for example “AVB” is the same as “¬(AVB)”
̅ : overline, a rarely used format for denoting Gödel numbers, for example “AVB” says the Gödel number of “(AVB)”

x2191 ↑ or 0×007c | : Sheffer stroke, the sign for the NAND operator.
x2201 ∁: complement
x2204 ∄: strike out existential quantifier same as “¬∃”
x2234 ∴: therefore
x2235 ∵: because
x22a7 ⊧: is a model of
x22a8 ⊨: is true of
x22ac ⊬: strike out turnstile, the sign for “does not prove”, for example T⊬P says “P is not a theorem of T”
x22ad ⊭: is not true of
x22bc ⊼: Another NAND operator, can also be rendered as ∧
x22bd ⊽: Another NOR operator, can also be rendered as V
x22c4 ◊: modal operator for “it is possible that”, “it is not necessarily not” or rarely “it is not provable not” (in most modal logics it is defined as “¬◻¬”)
x22c6 ⋆: Star operator, usually used for ad-hoc operators
x22a5 ⊥ or x2193 ↓ : Webb-operator or Peirce arrow, the sign for NOR, confusingly, “⊥”is also the sign for contradiction or absurdity.

x2310 ⌐ : reversed not sign

x231c⌜ x231d ⌝: corner quotes, also called “Quine quotes”; the standard symbol used for denoting Gödel number; for example “⌜G⌝” denotes the Gödel number of G. (Typographical note: although the quotes appears as a “pair” in unicode (231C and 231D), they are not symmetrical in some fonts. And in some fonts (for example Arial) they are only symmetrical in certain sizes. Alternatively the quotes can be rendered as ⌈⌉ and (unicode 2308 and 2309) or by using a negation symbol and a reversed negation symbol ⌐ ¬ in superscript mode. )

x25fb ◻ or x25a1 □: modal operator for “it is necessary that” (in modal logic), or “it is provable that” (in provability logic), or “it is obligatory that” (in Deontic logic), or “It is believed that” (in Doxastic logic). Typographical note: there are many different “box” signs in unicode, some are NOT rendered as a box in non-western fonts. When using the modal operator in Web pages, it is important to specify the font.

Note that the following operators are rarely supported by natively installed fonts. If you wish to use these in a web page, you should always embed the necessary fonts so the page viewer can see the web page without having the necessary fonts installed in their computer.

x27e1 ⟡:modal operator for never
x27e2 ⟢: modal operator for was never
x27e3 ⟣: modal operator for will never be
x27e4 ⟤: modal operator for was always
x27e5 ⟥: modal operator for will always be

x297d ⥽: right fishtail sign, sometimes used for “relation”, also used for denoting various ad hoc relations (for example, for denoting “witnessing” in the context of Rosser’s trick) See here for an image of glyph. Added to Unicode 3.2.0 .

[edit] See also

Table of mathematical symbols
Polish notation
Logic Alphabet. a famous suggested set of logical symbols.
Unicode Mathematical Operators

[edit] Special characters

Technical note: Due to technical limitations, some browsers may not display the special characters in this article. Some characters may be rendered as boxes, question marks, or other symbols, depending on your browser, operating system, and installed fonts. Even if you have ensured that your browser is interpreting the article as UTF-8 encoded and you have installed a font that supports a wide range of Unicode, such as Code2000, Arial Unicode MS, Lucida Sans Unicode or one of the free software Unicode fonts, you may still need to use a different browser, as browser capabilities vary in this regard.

[edit] Notes

^ Although this character is available in LaTeX, the Mediawiki TeX system doesn’t support this character.

[edit] External links

Named character entities in HTML 4.0.

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Posted by Carlos Guerrero on July 23, 2009

Dejando claro el proceso científico

Sacado de:

Teoría, Ley y Hechos en ciencia

Escrito por Kanijo en Ciencia General, Pensamiento Crítico

A menudo se escucha la ingenua crítica a la ciencia que dice “es sólo una teoría”, tratando de indicar que no está “demostrada” y que una vez “demostrada” se convertirá en una ley o un hecho”. Esto no es sorprendente debido a que tal noción es consistente con lo que a veces se nos enseña incorrectamente en las clases de ciencia general del instituto. La afirmación es, no obstante, completamente falsa y demuestra dos malentendidos comunes sobre la ciencia.

El primer malentendido es que la ciencia “demuestra” teorías. Las teorías nunca se “demuestran”, sólo se confirman mediante la observación; pero tal confirmación siempre es provisional. No importa cómo de bien o cuánto ha sido confirmada una teoría científica, siempre está sujeta a falsación o corrección por nuevas observaciones.

Considera la Teoría de la Mecánica Newtoniana. Durante 200 años, fue el estándar incontestable de “verdad” científica. Su éxito fue tan grande que algunos filósofos (Kant) afirmaron que no sólo era una teoría empíricamente confirmada, sino que era una “verdad a priori”. Ahora la conocemos mejor. A velocidades muy altas y distancias uy pequeñas, la Teoría de la Mecánica Newtoniana ha sido concluyentemente falsada. Ha sido reemplazada por la combinación de las Teorías de la Relatividad y la Mecánica Cuántica. Aún así, la Mecánica Newtoniana sigue siendo una excelente aproximación a estas teorías más correctas bajo lo que podríamos llamar condiciones normales – así pues, incluso cuando es falsada, una teoría científica puede seguir siendo útil.

El segundo malentendido es que una teoría es una ley o hecho “no demostrado”, o, a la luz de lo anteriormente comentado, una ley o hecho no confirmado. Las teorías científicas, leyes y hechos son tres tipos distintos de afirmaciones. Unos pocos ejemplos históricos ilustrarán las diferencias.

La Ley de Boyle (V = kT/P) relaciona tres hechos sobre un gas – Volumen, Temperatura, y Presión – y es familiar a todos los buceadores SCUBA. La Teoría Cinética de los Gases (Maxwell y Boltzmann) no sólo explica por qué la Ley de Boyle es aproximadamente cierta, sino también por qué y cuándo es demostrablemente falsa.

La Ley de las Proporciones Fijas afirma que los elementos químicos se combinan entre sí en proporciones enteras fijas por peso. Está basada en hechos como: el dióxido de carbono consta de 3 partes de carbono y 8 partes de oxígeno. La Teoría Atómica de la Materia (Dalton) intentó explicar por qué esto es cierto. La Teoría Mecánico Cuántica de la Estructura Atómica (Bohr, Heisenberg, Pauli, Pauling, et al) explica por qué esto es sólo aproximadamente cierto y cuándo es demostrablemente falso.

Las Leyes de Mendel afirman que las características heredadas se propagan a las siguientes generaciones en frecuencias expresables como ciertas proporciones enteras simples. Está basada en varios hechos que Mendel observó en plantas de guisantes. La Teoría de la Genética Molecular (Sutton, Morgan, Dobzhansky, McClintock, Watson, Crick, et al) no sólo explica por qué las Leyes de Mendel son aproximadamente ciertas, sino también por qué y cuándo spm demostrablemente falsas.

La Ley de Hubble afirma que la velocidad a la que una galaxia distante se aleja de la Tierra es directamente proporcional a su distancia a la Tierra. Está basada en ciertos hechos, incluyendo los desplazamientos al rojo en el análisis espectrográfico de la luz de cierto tipo de estrellas. La Teoría del Big Bang (Friedmann, LeMaitre, Gamov, et al), basada en la Teoría de la Relatividad General (Einstein), explica por qué la Ley de Hubble es aproximadamente cierta.

Antes de intentar hacer alguna definición implícita, vamos a volver sobre la falacia del instituto que afirma que: “Una hipótesis se convierte en teoría, y luego en ley, conforme aumenta el grado de demostración”. Una hipótesis es, efectivamente, una idea que requiere una mayor investigación. Cuando está suficientemente confirmada, una hipótesis puede convertirse en una teoría, una ley o un hecho. ¿”Un hecho”?, podríamos preguntarnos. ¿”Los hechos no son ciertas cosas que no requieren confirmación?” Este es otro malentendido común. Una breve historia de la Mecánica Newtoniana espero que ayude a ilustrar la naturaleza de los hechos científicos.

Galileo, podría decirse que el primer científico moderno, supuestamente dejó caer bolas desde la Torre Inclinada de Pisa. Probablemente no lo hizo, sino que Galileo experimentó con bolas rodando sobre planos inclinados y formuló tal vez la primera ley rigurosa de la cinética y el movimiento de caída libre (s = 16t²). Hizo distintas observaciones – una bola rodando por un plano inclinado 30 grados viaja X centímetros tras un segundo, 4X centímetros tras dos, 9X centímetros tras tres… – lo cual se convirtió en los hechos resumidos por sus leyes. Las observaciones precisas son cómo la ciencia reemplaza los hechos cotidianos, tales como “las cosas caen cuando las sueltas”, con hechos científicos. Pero algunos hechos cotidianos, tales como “los objetos pesados como las rocas caen más rápido que los ligeros como las plumas”, deben rechazarse cuando se examinan científicamente. Nota que también los hechos de Galileo dependen de una nueva idea (¿o teoría?) del tiempo como un parámetro regular y medible (Galileo se supone que usó su pulso).

Newton generalizó el trabajo de Galileo con su Teoría de la Mecánica (incluyendo la Ley F = ma) y su Ley de la Gravitación Universal (F = GMm/r²), ambas presentadas en el monumental trabajo, “Mathematical Principles of Natural Philosophy (Principios Matemáticos de la Filosofía Natural)”. Estas dejaron a las Leyes de Galileo como casos especiales aproximados. La Ley de la Gravitación de Newton estaba basada en una misteriosa fuerza atractiva entre dos masas cualesquiera. La fuerza es “misteriosa” debido a que de hecho lo era, al menos para Newton. Lo intentó, pero nunca tuvo éxito al formular una teoría de la gravedad, la cual podría explicar “por qué” su ley universal era cierta o “cómo” funcionaba. Usando su Ley de la Gravitación y su Teoría de la Mecánica, Newton fue capaz de explicar numerosos hechos (el movimiento de los planetas en el cielo, el movimiento de las mareas, etc.) y leyes (las de Kepler y Galileo).

Einstein desarrolló una teoría de la gravedad, conocida como Relatividad General, la cual explica “cómo” funciona la gravedad y “por qué” la Ley de Newton de la Gravitación Universal es aproximadamente cierta. La Teoría de la Relatividad (Especial y General) también predijo que la Teoría de la Mecánica de Newton estaría equivocada a energías muy altas – tales medidas de masa, tiempo y distancia variarían dependiendo de la velocidad del observador. Esta predicción se ha verificado en millones de observaciones experimentales en aceleradores de partículas. Pero bajo condiciones normales – las que nos encontramos en la vida cotidiana – la Mecánica Newtoniana es una excelente aproximación a estas teorías más correctas; y sigue siendo la base de la ciencia subyacente a la mayor parte de apicaciones de ingeniería.

Nota cómo los términos “hecho”, “ley” y “teoría” se usan en los ejemplos anteriores. Esto es consistente con la forma en que se usan y comprenden habitualmente en ciencia. Los hechos científicos, leyes y teorías son tres tipos distintos de afirmaciones. Uno a veces escucha la palabra “teoría” usada en lugar de la palabra “hipótesis” – como en “Tengo una teoría que…” – pero este es un abuso de la palabra, posiblemente motivado para evitar una palabra con un sonido pretencioso como “hipótesis”. Si se pide una definición formal de los términos, se podría dar:

Un hecho científico es una observación controlada, repetible y/o rigurosamente verificada.

Una ley científica es una afirmación de una regularidad observada entre hechos, a menudo expresable como una simple relación matemática.

Una teoría científica es un marco de trabajo conceptual integrado para razonar sobre una clase de fenómenos, los cuales son capaces de coordinar hechos existentes y leyes y a veces proporcionar predicciones de otros nuevos.

Las teorías a menudo explican “por qué” leyes y hechos son “ciertos” o “cómo funcionan”. En lo discutido anteriormente, nota que las teorías a menudo tienen múltiples nombres asociadas a ellas. Esto no es sorprendente debido a que las teorías son mucho más complejas. Observa que no sólo teorías y leyes, sino que también los hechos pueden ser falsados. El “hecho” anterior a Galileo de que los objetos pesados caen más rápido que los ligeros fue falsado. El “hecho” Newtoniano de que la masa, tiempo y distancia no varían con la velocidad fue falsado. El “hecho” químico de que sólo hay tres formas elementales de carbono – diamante, carbón y grafito – fue falsado.

Este último hecho falsado es otro ejemplo de interrelación entre hipótesis, hecho y teoría. Considera a los químicos de la Universidad Rice que formaron la “hipótesis” de que había otra forma elemental de carbono en la que los átomos se “curvaban” en una “pelota de fútbol” esférica. La Teoría de la Mecánica Cuántica no parecía decir que fuese imposible. Por lo que experimentaron, y descubrieron el Carbono-60, “BuckminsterFullereno”. No es una teoría o una ley; ¡es un Hecho! Aunque un hecho que sólo puede afirmarse y se comprenden los términos de la Teoría Atómica de la Materia. Esto no es algo poco común. Muchos hechos científicos están “cargados de teoría”, lo que significa que sólo pueden afirmarse en términos proporcionados por una teoría científica. Los hechos espectrográficos que apoyan la Ley de Hubbell están igualmente “cargados de teoría”.

En su uso normal, la palabra “evolución” a menudo se refiere tanto al hecho como a la teoría. La evolución es un hecho. Se ha observado directamente. La evolución es el cambio con el tiempo en la distribución de los alelos genéticos (”genes”) de una población. En este sentido, son poblaciones las que evolucionan y no los individuos. La evolución se ha observado en numerosas situaciones. Una población de una única especie – los individuos son capaces de aparearse y reproducirse – puede quedar separada y sujeta a un entorno distinto. Con el tiempo, la distribución de alelos en las dos poblaciones divergirá. En algún punto, los individuos de las dos poblaciones, no serán capaces de aparearse y reproducirse entre sí. Una única especie ha evolucionado en dos. La evolución es un hecho observado.

La Teoría de la Selección Natural de Darwin, aumentada por la Teoría de la Genética Molecular, explican el hecho de la evolución, así como los hechos del registro fósil y muchas otras cosas de la biología moderna. Observa la palabra “aumentó”. La posterior teoría no falsó la idea de Darwin de selección natural, sino que la enriqueció y extendió, proporcionando explicaciones a fenómenos que Darwin simplemente había observado. Esto también es algo común en el desarrollo de la ciencia. La Teorías Clásicas del Calor, Energía y Termodinámica aumentaron de forma similar la Teoría de la Mecánica Newtoniana sin falsarla.

La palabra “evolución” a veces se usa para referirse a la combinación de hechos de la evolución, las dos teorías mencionadas antes y las hipótesis de que toda la vida en la Tierra ha evolucionado a partir de un ancestro común. Aunque este último componente está etiquetado como hipótesis, está tan bien confirmado que casi podríamos llamarlo hecho. (Un apunte histórico interesante es que Darwin nunca usó la palabra “evolución” en su monumental trabajo, “The Origin of Species (El Origen de las Especies)”.) En este uso, la evolución es esencial a la biología moderna. Se dice que nada en la biología tiene sentido si no es a la luz de la evolución.

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Posted by Carlos Guerrero on July 2, 2009

Tips to make web applications more scalable

http://blog.nickbelhomme.com/php/scalable-web-applications_158

http://highscalability.com/habits-highly-scalable-web-applications

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Posted by Carlos Guerrero on July 1, 2009

Web mining

Alexa is a private company that studies the web access behaviour of the web users. They have published a list of the most popular sites:

http://www.alexa.com/topsites

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Posted by Carlos Guerrero on July 1, 2009

Google helps us to make our webs faster

From: http://code.google.com/intl/es/speed/articles/

Tutorials

There are many ways to make websites run faster. In this section, you can discover performance best practices that real web professionals employ in their everyday work. These practices have improved the user experience for millions of users and we hope they are useful for other web developers.

CSS: Using every declaration just once

Using every CSS declaration only once is an effective way to reduce file size of style sheets. Because this is not a trivial optimization technique, you’ll also need to adjust your editing workflow.

How gzip compression works

Learn how gzip compression works in a transaction between a web server and a web browser. Then, take a look at what gzip actually compresses, so that you can leverage compression in your markup.

HTTP caching

Web pages can load much faster on repeated visits if the resources come from the cache. Learn about two groups of HTTP headers that make all the difference.

Improving website performance with Page Speed

You can often reduce the number of bytes of a web page — and speed up the page’s download — without changing its appearance or function. Discover three ways to reduce the size of web page content, using Page Speed.

Minimizing browser reflow

Improve browser rendering performance by minimizing operations that cause browser reflow.

Optimizing JavaScript code

JavaScript can make your web apps dynamic and interactive, but the client-side interpretation can introduce its own inefficiencies. Use these tips to optimize your JavaScript code.

Optimizing web graphics

Learn how to optimize your web illustrations, icons, and graphics for faster download on the web.

PHP performance tips

Speed up your existing PHP scripts with some simple changes recommended in these tips.

Prefetching resources

Downloading resources required for a page in advance makes them instantly available once requested, and can be an effective technique for reducing or even eliminating user-perceived network latency.

Properly including stylesheets and scripts

Combining external stylesheets and scripts, and correctly ordering them in the containing page, enables better parallelization of downloads and speeds up browser rendering time.

Reducing the file size of HTML documents

Omitting optional tags, leveraging HTML 5’s shorter DOCTYPE, and a few other techniques can help reduce the file size and load time of your HTML documents.

UI messaging and perceived latency

To the typical user, speed doesn’t only mean performance — it means the ability to use your website efficiently. Learn how to deliver effective UI messaging, a crucial part of keeping your users engaged and productive.

Tech Talks @ Google

In these Tech Talks, speakers from several organizations discuss speed-related issues. We hope that you find them useful to stay up to date with the latest developments across the entire spectrum of performance.

Cuzillion: Web Performance Exploration Tool

Steve Souders, member of the performance group at Google, has released a new open source tool called Cuzillion, which lets you explore performance issues with web pages. Steve sat down to show us how it works, and how he found an issue with Orkut.

Debugging and Testing the Web with Firebug

Explore web development and debugging strategies with Firebug. View an overview of Firebug’s new and improved features and how to use them. Finally, take a peek at FireUnit, a new Firebug extension by John Resig and Jan Odvarko, and its role in unit testing Firebug itself.

Don’t Make Me Click

Information overload is daunting. The best presentation of content is the one which requires the least number of clicks and choices: fewer clicks and choices means more people stay and use your site. Avoid interaction seduction, to create surprisingly delightful interfaces that are easier to learn and faster to use.

Drop-in JavaScript Performance

Browsers are continually being upgraded, to provide new features from the latest specifications. Take a look at modern JavaScript and DOM techniques that you can easily drop in to your applications for instant speed-ups.

Faster HTML and CSS: Layout Engine Internals for Web Developers

David Baron talks about HTML, CSS, and the DOM in Mozilla, from the DOM tree and cascading stylesheets through to displaying pixels on the screen. Learn what Mozilla-based browsers spend time doing when they’re displaying a Web page, and what work is redone when the page is changed by script.

High Performance Web Sites and YSlow

Yahoo!’s Exceptional Performance Team has identified 14 best practices for making web pages faster. These best practices have proven to reduce response times of Yahoo! properties by 25-50%.

JavaScript: The Good Parts

This talk exposes the goodness in JavaScript, an outstanding dynamic programming language. Within the language is an elegant subset that is vastly superior to the language as a whole, being more reliable, readable and maintainable.

Life’s Too Short — Write Fast Code

Steve Souders discusses loading external scripts without blocking other downloads and preventing page rendering. He also discusses several techniques for working around the problem of introducing undefined symbol errors if inlined code uses symbols from the external scripts.

Performance Tuning Best Practices for MySQL

Learn where to best focus your attention when tuning the performance of your applications and database servers, and how to effectively find the “low hanging fruit” on the tree of bottlenecks.

Speed Up Your JavaScript

< div id=”">As an interpreted language, JavaScript is filled with hidden performance issues that conspire to slow down your code and ruin the user experience. Learn exactly what is fast, what is slow, and what you can do to squeeze that last bit of performance out of your JavaScript code.

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Posted by Carlos Guerrero on July 1, 2009

Usual math symbols

Extract from wikipedia: http://es.wikipedia.org/wiki/Anexo:Tabla_de_s%C3%ADmbolos_matem%C3%A1ticos

Genéricos

Símbolo	Nombre	se lee como	Categoría
=	igualdad	igual a	todos
	`x` = `y` significa: `x` y `y` son nombres diferentes que hacen referencia a un mismo objeto o ente.
	1 + 2 = 6 − 3
≔ ≡ :⇔	definición	se define como	todos
	`x` := `y` o `x` ≡ `y` significa: `x` se define como otro nombre para `y` (notar, sin embargo, que ≡ puede también significar otras cosas, como congruencia) `P` :⇔ `Q` significa: `P` se define como lógicamente equivalente a `Q`
	cosh x := (1/2)(exp x + exp (−x)); A XOR B :⇔ (A ∨ B) ∧ ¬(A ∧ B)

Aritmética

Símbolo	Nombre	se lee como	Categoría
+	adición	más	aritmética
	4 + 6 = 10 significa que si a cuatro se le agrega 6, la suma, o resultado, es 10.
	43 + 65 = 108; 2 + 7 = 9
−	substracción	menos	aritmética
	9 − 4 = 5 significa que si 4 es restado de 9, el resultado será 5. El símbolo ‘menos’ también se utiliza para denotar que un número es negativo. Por ejemplo, 5 + (−3) = 2 significa que si ‘cinco’ y ‘menos tres’ son sumados, el resultado es ‘dos’.
	87 − 36 = 51
× · *	multiplicación	por	aritmética
	$7 \times 6 = 42$ significa que si se cuenta siete veces seis, el resultado será 42.
	$4 \times 6 = 24$
÷ /	división	entre	aritmética
	${42 \over 6} = 7$ significa que si se hace seis pedazos uniformes de cuarenta y dos, cada pedazo será de tamaño siete.
	$24 / 6 = 4$
∑	sumatoria	suma sobre … desde … hasta … de	aritmética
	∑_k=1ⁿ a_k significa: a₁ + a₂ + … + a_n
	∑_k=1⁴ k² = 1² + 2² + 3² + 4² = 1 + 4 + 9 + 16 = 30
∏	producto	producto sobre… desde … hasta … de	aritmética
	∏_k=1ⁿ a_k significa: a₁a₂···a_n
	∏_k=1⁴ (k + 2) = (1 + 2)(2 + 2)(3 + 2)(4 + 2) = 3 × 4 × 5 × 6 = 360

Lógica proposicional

Símbolo	Nombre	se lee como	Categoría
⇒ →	implicación material o en un solo sentido	implica; si .. entonces; por lo tanto	lógica proposicional
	A ⇒ B significa: si A es verdadero entonces B es verdadero también; si B es verdadero entonces nada se dice sobre A. → puede significar lo mismo que ⇒, o puede ser usado para denotar funciones, como se indica más abajo.
	x = 2 ⇒ x² = 4 es verdadera, pero 4 = x² ⇒ x = 2 es, en general, falso (ya que x podría ser −2) / tal que ejemplo x/y se lee x tal que y
⇔ ↔	doble implicación	si y sólo si; sii^[1]	lógica proposicional
	A ⇔ B significa: A es verdadera si B es verdadera y A es falsa si B es falsa.
	x + 5 = y + 2 ⇔ x + 3 = y
∧	conjunción lógica o intersección en una reja	y	lógica proposicional, teoría de rejas
	la proposición A ∧ B es verdadera si A y B son ambas verdaderas; de otra manera es falsa.todo es verdadero de los valores
	n < 4 ∧ n > 2 ⇔ n = 3 cuando `n` es un número natural
∨	disyunción lógica o unión en una reja	o	lógica proposicional, teoría de rejas
	la proposición A ∨ B es verdadera si A o B (o ambas) son verdaderas; si ambas son falsas, la proposición es falsa.
	n ≥ 4 ∨ n ≤ 2 ⇔ n ≠ 3 cuando `n` es un número natural
¬ /	negación lógica	no	lógica proposicional
	la proposición ¬A es verdadera si y sólo si A es falsa. una barra colocada sobre otro operador es equivalente a un ¬ colocado a la izquierda.
	¬(A ∧ B) ⇔ (¬A) ∨ (¬B); `x` ∉ `S` ⇔ ¬(`x` ∈ `S`)

Lógica de predicados

Símbolo	Nombre	se lee como	Categoría
∀	cuantificación universal	para todos; para cualquier; para cada	lógica de predicados
	∀ x: P(x) significa: P(x) es verdadera para cualquier x
	∀ n ∈ N: n² ≥ n
∃	cuantificación existencial	existe por lo menos un/os	lógica de predicados
	∃ x: P(x) significa: existe por lo menos un x tal que P(x) es verdadera.
	∃ n ∈ N: n + 5 = 2n
∃ \|	cuantificación existencial con marca de unicidad	existe un/os único/s	lógica de predicados
	∃ \| x: P(x) significa: existe un único x tal que P(x) es verdadera.
	∃ \| n ∈ N: n + 1 = 2
:	reluz	tal que	lógica de predicados
	∃ x: P(x) significa: existe por lo menos un x tal que P(x) es verdadera.
	∃ n ∈ N: n + 5 = 2n

Teoría de conjuntos

Símbolo	Nombre	se lee como	Categoría
{ , }	delimitadores de conjunto	el conjunto de …	teoría de conjuntos
	{`a`,`b`,`c`} significa: el conjunto consistente de `a`, `b`, y `c`
	N = {0,1,2,…}
{ : } { \| }	notación constructora de conjuntos	el conjunto de los elementos … tales que …	teoría de conjuntos
	{x : P(x)} significa: el conjunto de todos los x para los cuales P(x) es verdadera. {x \| P(x)} es lo mismo que {x : P(x)}.
	{n ∈ N : n² < 20} = {0,1,2,3,4}
∅ {}	conjunto vacío	conjunto vacío	teoría de conjuntos
	{} significa: el conjunto que no tiene elementos; ∅ es la misma cosa.
	{n ∈ N : 1 < n² < 4} = {}
∈ ∉	pertenencia de conjuntos	en; está en; es elemento de; es miembro de; pertenece a	teoría de conjuntos
	a ∈ S significa: a es elemento del conjunto S; a ∉ S significa: a no es elemento del conjunto S
	(1/2)⁻¹ ∈ N; 2⁻¹ ∉ N
⊆ ⊂	subconjunto	es subconjunto de	teoría de conjuntos
	A ⊆ B significa: cada elemento de A es también elemento de B A ⊂ B significa: `A` ⊆ `B` pero A ≠ B
	A ∩ B ⊆ A; Q ⊂ R
∪	unión conjunto-teorética	la unión de … y …; unión	teoría de conjuntos
	A ∪ B significa: el conjunto que contiene todos los elementos de A y también todos aquellos de B, pero ningún otro.
	A ⊆ B ⇔ A ∪ B = B
∩	intersección conjunto-teorética	la intersección de … y …; intersección	teoría de conjuntos
	A ∩ B significa: el conjunto que contiene todos aquellos elementos que A y B tienen en común.
	{x ∈ R : x² = 1} ∩ N = {1}
\	complemento conjunto-teorético	menos; sin	teoría de conjuntos
	A \ B significa: el conjunto que contiene todos aquellos elementos de A que no se encuentran en B
	{1,2,3,4} \ {3,4,5,6} = {1,2}

Funciones

Símbolo	Nombre	se lee como	Categoría
( ) [ ] { }	aplicación de función; agrupamiento	de	funciones
	para aplicación de función: `f`(`x`) significa: el valor de la función `f` sobre el elemento `x` para agrupamiento: realizar primero las operaciones dentro del paréntesis.
	Si `f`(`x`) := `x`², entonces `f`(3) = 3² = 9; (8/4)/2 = 2/2 = 1, pero 8/(4/2) = 8/2 = 4
f:X→Y	mapeo funcional	de … a	funciones
	`f`: `X` → `Y` significa: la función `f` mapea el conjunto `X` al conjunto `Y`
	Considérese la función `f`: Z → N definida por `f`(`x`) = `x`²

Números

Símbolo	Nombre	se lee como	Categoría
N	números naturales	N	números
	N significa: {0,1,2,3,…}, pero véase el artículo números naturales para una convención diferente.
	{\|a\| : a ∈ Z} = N
Z	números enteros	Z	números
	Z significa: {…,−3,−2,−1,0,1,2,3,4….}
	{a : \|a\| ∈ N} = Z
Q	números racionales	Q	números
	Q significa: {p/q : p, q ∈ Z, q ≠ 0}
	3.14 ∈ Q; π ∉ Q
R	números reales	R	números
	R significa: {lim_n→∞ a_n : ∀ n ∈ N: `a`_n ∈ Q, el límite existe}
	π ∈ R; √(−1) ∉ R
C	números complejos	C	números
	C significa: {a + bi : a, b ∈ R}
	i = √(−1) ∈ C
√	raíz cuadrada	la raíz cuadrada de; la principal raíz cuadrada de	números reales
	√x significa: el número positivo cuyo cuadrado es x
	√(x²) = \|x\|
∞	infinito	infinito	números
	∞ es un elemento de la línea extendida de números reales mayor que todos los números reales; ocurre frecuentemente en límites
	lim_x→0 1/\|x\| = ∞
\| \|	valor absoluto	valor absoluto de	números
	\|`x`\| significa: la distancia en la línea real (o en el plano complejo) entre `x` y zero
	\|a + bi \| = √(a² + b²)

Órdenes parciales

Símbolo	Nombre	se lee como	Categoría
≤ ≥	comparación	es menor o igual a, es mayor o igual a	órdenes parciales
`x` ≤ `y` significa: `x` es menor o igual a `y`; x ≥ y significa: x es mayor o igual a y
x ≥ 1 ⇒ x² ≥ x

Símbolo

Nombre

se lee como

Categoría

≤
≥

comparación

es menor o igual a, es mayor o igual a

órdenes parciales

x ≤ y significa: x es menor o igual a y; x ≥ y significa: x es mayor o igual a y

x ≥ 1 ⇒ x² ≥ x

Geometría euclídea

Símbolo	Nombre	se lee como	Categoría
π	pi	pi	Geometría euclideana
π significa: la razón de la circunferencia a su diámetro.
A = πr² es el área de un círculo con radio r

Símbolo

Nombre

se lee como

Categoría

π

Geometría euclideana

π significa: la razón de la circunferencia a su diámetro.

A = πr² es el área de un círculo con radio r

Combinatoria

Símbolo	Nombre	se lee como	Categoría
!	factorial	factorial	combinatoria
n! es el producto 1×2×…×n
4! = 24

Símbolo

Nombre

se lee como

Categoría

!

factorial

combinatoria

n! es el producto 1×2×…×n

4! = 24

Análisis funcional

Símbolo	Nombre	se lee como	Categoría
\|\| \|\|	norma	norma de; longitud de	análisis funcional
\|\|`x`\|\| es la norma del elemento x de un espacio vectorial normado
\|\|x+y\|\| ≤ \|\|x\|\| + \|\|y\|\|

Símbolo

Nombre

se lee como

Categoría

|| ||

norma

norma de; longitud de

análisis funcional

||x|| es la norma del elemento x de un espacio vectorial normado

||x+y|| ≤ ||x|| + ||y||

Cálculo

Símbolo	Nombre	se lee como	Categoría
∫	integración	integral desde … hasta … de … con respecto a …	cálculo
	∫_a^b f(x) dx significa: el área, con signo, entre el eje-x y la gráfica de la función f entre `x` = a y `x` = b
	∫₀^b x² dx = b³/3; ∫x² dx = x³/3
f ‘	derivación	derivada de f; f prima	cálculo
	f ‘(x) es la derivada de la función f en el punto x, esto es, la pendiente de la tangente en ese lugar.
	Si f(x) = x², entonces f ‘(x) = 2x y f ‘ ’(x) = 2
∇	gradiente	del, nabla, gradiente de	cálculo
	∇f (x₁, …, x_n) es el vector de derivadas parciales (df / dx₁, …, df / dx_n)
	Si f (x, y, z) = 3xy + z² entonces ∇f = (3y, 3x, 2z)
∂	derivación parcial	derivada parcial de	cálculo
	Con f (x₁, …, x_n), ∂f/∂x_i es la derivada de f con respecto a x_i, con todas las otras variables mantenidas constantes.
	Si f(x, y) = x²y, entonces ∂f/∂x = 2xy

Ortogonalidad

Símbolo	Nombre	se lee como	Categoría
⊥	perpendicular	es perpendicular a	ortogonalidad
x ⊥ y significa: x es perpendicular a y; o, más generalmente, x es ortogonal a y.

Símbolo

Nombre

se lee como

Categoría

⊥

perpendicular

es perpendicular a

ortogonalidad

x ⊥ y significa: x es perpendicular a y; o, más generalmente, x es ortogonal a y.

Álgebra matricial

Símbolo	Nombre	se lee como	Categoría
⊥	perpendicular	traspuesta	matrices y vectores
(a,b) con ⊥ al lado o a modo de potencia significa que el vector se debe colocar no de izquierda a derecha, sino de arriba a abajo. En numerosos trabajos de investigación se utiliza esta sintaxis al no poder representar en un documento vectores verticales.

Símbolo

Nombre

se lee como

Categoría

⊥

perpendicular

traspuesta

matrices y vectores

(a,b) con ⊥ al lado o a modo de potencia significa que el vector se debe colocar no de izquierda a derecha, sino de arriba a abajo. En numerosos trabajos de investigación se utiliza esta sintaxis al no poder representar en un documento vectores verticales.

Teoría de rejas

Símbolo	Nombre	se lee como	Categoría
⊥	fondo	el elemento fondo	teoría de rejas
x = ⊥ significa: x es el elemento más pequeño.

Símbolo

Nombre

se lee como

Categoría

⊥

fondo

el elemento fondo

teoría de rejas

x = ⊥ significa: x es el elemento más pequeño.

Véase también

wikipedia: Cómo se edita una página contiene información acerca de cómo producir símbolos matemáticos en otros artículos.

Referencias

↑ sii es usado por los matemáticos como jerga ocasional, no está reconocido como un término estándar, por lo que tampoco suele aparecer en textos formales.

”Este artículo utiliza [[Tabla de símbolos matemáticos|símbolos matemáticos]]”

Enlaces externos

Jeff Miller: Earliest Uses de Various Mathematical Symbols, http://members.aol.com/jeff570/mathsym.html
TCAEP - Institute of Physics, http://www.tcaep.co.uk/science/symbols/maths.htm

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Véase también

Referencias

≔
≡
:⇔

×
·
*

÷
/

⇒
→

⇔
↔

¬
/

{ : }
{ | }

∅
{}

∈
∉

⊆
⊂

( )
[ ]
{ }

≤
≥